Серегин С.В.  

Собственные колебания тонких цилиндрических оболочек, несущих присоединенную массу

Собственные колебания тонких цилиндрических оболочек, несу-щих присоединенную массу
С. В. Серёгин
ФГБОУ ВПО "Комсомольский-на-Амуре государственный техниче-ский университет", 681024

Аннотация. Уравнениями линейной теории пологих оболочек ис-следуется влияние малой присоединенной массы на собственные коле-бания бесконечно длинной круговой цилиндрической оболочки (кольца, находящегося в условии плоской деформации). Рассмотрен новый под-ход к построению конечномерной модели, предполагающий, что инер-ционная неоднородность приводит к взаимодействию изгибных колеба-ний с радиальными.
Ключевые слова: круговая цилиндрическая тонкая оболочка, при-соединенная масса, расщепление частотного спектра.

1. Введение. Тонкие круговые цилиндрические оболочки имеют широкое применение в различных отраслях техники. Встречаются слу-чаи, когда такие конструкции имеют включения типа присоединенных масс. Известно [1–2], что инерционная неоднородность нарушает ди-намическую симметрию оболочки, что приводит к возникновению спе-цифических явлений при ее изгибных колебаниях. При использовании вариационных методов, одним из ключевых моментов является выбор аппроксимирующей функции для предполагаемого прогиба оболочки. В настоящей работе предложен подход к построению конечномерной модели, предполагающий, что деформация оболочек обусловлена свя-занными изгибно-радиальными колебаниями.
1. Математическая модель. Математическая модель основана на уравнениях линейной теории пологих оболочек. Для кольца, находяще-гося в условии плоской деформации, имеющего радиус R, толщину стенки h, и несущей малую присоединенную массу М, уравнения, опи-сывающие собственные изгибные колебания запишем следующим обра-зом:

   (1)  11 (1)

В первом приближении, в линейной постановке, прогиб кольца мо-жет быть аппроксимирован выражением:

 Серёгин, С.В, 2014
   (2)

В котором дополнительно введенная обобщенная координата   позволяет описать особенности влияния присоединенной массы.        
2. Собственные частоты колебаний. Подстановка (2) в (1) позво-ляет найти функцию  , а затем и само окружное погонное динамиче-ское усилие. Последующая ортогонализация второго уравнения (1) к форме прогиба (2) приводит к системе дифференциальных уравнений, описывающей колебания кольца с присоединенной массой:

 
           (3)
 

где   – малый параметр, характеризующий волнообра-зование и относительную толщину кольца.
Точками в (3) обозначено дифференцирование по безразмерному времени  , где    – n-я  собственная частота изгиб-ных колебаний идеального кольца (без присоединенной массы).   – погонная масса кольца,   величина присоединенной массы,   число формообразующих волн.    безразмерный амплитудный параметр.
Собственные частоты. Из системы модальных уравнений (3) не-трудно получить характеристическое уравнение, а затем и безразмер-ные частоты колебаний кольца несущего малую присоединенную мас-су:

Частотам   и   соответствуют преимущественно изгибные ко-лебания, а частоте   – преимущественно радиальные. Сплошной ли-нией, на рис. 1, обозначена большая из расщепленных собственных безразмерных ( ) частот кольца с присоединенной массой, линией с кругами – меньшая.   частота идеального кольца,   расщеплен-ная частота кольца с присоединенной массой.

Рис. 1 – Собственная частота кольца с присоединенной массой

4. Экспериментальное исследование МКЭ. Методом конечных элементов в среде пакета MSC/NASTRAN создана модель кольца, не-сущего точечно присоединенную массу. Кольцо имеет следующие па-раметры: R = 1 м, h = 0,005 м,  ;   Е = 2105 МПА;  = 0,00795 Мнс2/м4; ширина кольца b = 0,005 м; Число конечных элементов – 1500.
Собственные частоты и формы колебаний кольца, несущего при-соединенную массу представлены на рис. 2.

Рис. 2 – Собственные частоты и формы

Результаты численного расчета МКЭ сведены на график, рис. 3

Рис. 2 – Собственная частота кольца с присоединенной массой

На рис. 3 представлены собственные безразмерные частоты коль-ца с присоединенной массой  . Точками обозначены большие из расщепленных частот, пунктиром – меньшие. Кружками обозначен случай  , треугольниками –  
Видно, что в случае, когда число формообразующих волн  , как у оболочек конечной длины, большая из расщепленных частот практически совпадает с частотой колебаний идеального кольца без массы, как и в теоретическом решении, а при   расстройка усили-вается с ростом величины присоединенной массы. Случай, когда   не удается отразить в аналитических решениях, ни при использовании традиционной математической модели, ни при уточненной.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лейзерович Г.С., Приходько Н.Б., Серёгин С.В. О влиянии малой присоеди-ненной массы на колебания разнотолщинного кругового кольца // Орел: Госунивер-ситет  УНПК. Строительство и реконструкция. 2013. №4. – С. 38-41.
2. Лейзерович Г.С., Приходько Н.Б. Серёгин С.В. О влиянии малой присоеди-ненной массы на расщепление частотного спектра кругового кольца с начальными неправильностями. // Строительная механика и расчет сооружений, 2013. №6. С. 49 – 51.